FREGAT: ДЕНЕЖНЫЕ МЕТАМОРФОЗЫ

ДЕНЕЖНЫЕ МЕТАМОРФОЗЫ

Некоторые понятия финансовой математики принимаются на веру, как некие богом данные истины. В большей мере это относится к понятию "внутренняя рентабельность" проекта. Написано горы специальной литературы, где авторы объясняют "как работают те или иные формулы". Ниже сделана попытка ответить на вопрос "почему они так работают".

Инфляция

Если в начале года мы имели некоторую сумму денег (например, - 1000 руб.) и эта сумма год хранилась в ящике стола, то можно ли сказать в конце года, что наши сбережения сохранились? Очевидно, нет, так как по опыту знаем, что на 1000 руб. в начале года можно купить больше товаров, чем на те же 1000 руб. в конце года. Деньги конца некого временного периода отличаются от денег его начала. Это отличие тем больше, чем длиннее период.

Пусть некая условная потребительская корзина стоит в начале расчетного года, например, 75 тыс. рублей. Пусть ее стоимость год от года увеличится на 15%. Рассчитаем стоимость корзины (A) в конце каждого года на некотором n-летнем промежутке времени:

Очевидно, что стоимость нашей потребительской корзины (далее - ПК) в конце i-го года можно вычислить по формуле:

Результаты вычислений по формуле (1) на десятилетнем периоде занесем в Таб. 1.

Таб. 1 Расчет стоимости потребительской корзины

1 Расчетный год 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σ

2 ПК 75 75 75 75 75 75 75 75 75 75 750

3 (1 + q)ⁱ, q=15% 1,15 1,32 1,52 1,75 2,01 2,31 2,66 3,06 3,52 4,05

4 ПК' = ПК * (1 + q)ⁱ 86,25 99,19 114,07 131,18 150,85 173,48 199,5 229,43 263,84 303,42 1 751

5 ПК / ПК' = 1 / (1 + q)ⁱ 0,87 0,76 0,66 0,57 0,5 0,43 0,38 0,33 0,28 0,25

В Таб. 1 строки имеют следующее содержание:

- В строке 1, в соответствующем столбце, указан номер периода (года), в конце которого определяется стоимость потребительской корзины;

- В строке 2 указана начальная стоимость потребительской корзины (тыс. руб.);

- В строке 3 по формуле (1) вычисляется значение (1 + q)ⁱ для каждого расчетного года;

- В строке 4 вычисляется стоимость потребительской корзины (ПК') в конце каждого расчетного года;

- В строке 5 вычисляется соотношение начальной стоимости потребительской корзины и ее стоимости в конце каждого расчетного периода, т.е. значение ПК / ПК' = 1 / (1 + q)ⁱ.

Итак, если в конце первого года годовая потребительская корзина стоит 86,25 тыс. руб., то в конце 10-го – уже 303,42 тыс. руб.

Предположим, что существуют деньги с абсолютной (не изменяющейся) ценностью – золотые рубли и стоимость потребительской корзины в золотых рублях неизменна с течением времени и в нашем примере равна 75 тыс. рублей. Тогда каждый бумажный рубль к концу 1-го года стоит 75 / 86,25 = 0,87, а концу 10-го года – только 75 / 303,42 = 0,25 золотых рублей (строка 5, Таб. 1).

Обесценивание бумажных денег по отношению к денежному товару - золоту, а также ко всей массе рядовых товаров и к иностранной валюте, сохранившей прежнюю реальную ценность (или обесценившейся в меньшей мере) называется инфляцией. Уровень инфляции - показатель среднего уровня изменения цен товаров и услуг относительно базисного периода; используется в качестве показателя инфляции и выражается в процентах за год.

В Таб. 1 показан механизм расчета будущей стоимости потребительской корзины с учетом влияния инфляции. В строке 3 рассчитан показатель, который называется инфляционным множителем. Для того чтобы узнать стоимость товара в конце определенного периода (здесь – года) необходимо стоимость этого товара в начале 1-го периода (начальную стоимость) умножить на соответствующий инфляционный множитель.

Если цена потребительской корзины, в какой то промежуток времени растет одинаково (в нашем примере – на 15% в год), то можно сказать, что годовой уровень инфляции 1 на этом промежутке времени равен 15% процентам.

Измерение товарной массы в золотых рублях очень удобно. Например, можно сказать, что если (применительно к нашему примеру) за десять лет сумма средств, истраченных одной семьей на потребление равна 750 тыс. золотых рублей, и одна потребительская корзина стоит 75 тыс. золотых рублей, то за десять лет эта семья потребила 750 / 75 = 10 потребительских корзин.

Если сказать (опять же, применительно к нашему примеру), что эта семья за десять лет истратила на потребление 1 751 тыс. бумажных рублей, то, исходя из этих данных, выполнить простой расчет количества потребленных корзин представляется проблематичным.

Почему в нашем примере годовая потребительская корзина стоит именно 75 тыс. рублей? Очевидно потому, что она столько стоила в бумажных рублях в начале первого расчетного года (или в конце нулевого расчетного года). Другими словами курс золотого рубля к рублю бумажному в начале первого расчетного года в рассматриваемом периоде равен 1,0; т.е. наш золотой рубль - это рубль бумажный в начале рассматриваемого периода. Или по другому: измеряя стоимость потребительских корзин (или другого товарного пула) в отдельные моменты времени в рассматриваемом временном периоде в золотых рублях, мы измеряем эту стоимость в бумажных рублях начала рассматриваемого периода.

На практике бывает известно, что в каждом году (или, в зависимости от принятой градации, - в каждом квартале, месяце, дне) расчетного периода уже (или будет) истрачено какое-то количество бумажных рублей. Что бы перевести бумажные рубли в рубли золотые необходимо выполнить расчет по формуле:

Очевидно, что выражение (1 + q)ⁱ есть текущий курс золотого рубля по отношению к бумажному рублю.

Дисконтирование

Пусть годовой доход семьи (далее - ГД) на начало года равен 100 тыс. рублей. Пусть его величина год от года увеличится на 12% (по аналогии с определением уровня инфляции скажем, что уровень дохода g = 12%). Выполним расчет годового дохода (ГД') на отрезке времени 1 – 10 лет (Таб. 2). Процедура расчета в Таб. 2 аналогична расчету, приведенному в Таб. 1.

Таб. 2 Расчет уровня годового дохода

1 Расчетный год 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σ

5 ГД 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

6 (1 + g)ⁿ, g=12% 1,12 1,25 1,4 1,57 1,76 1,97 2,21 2,48 2,77 3,11

7 ГД' = ГД * (1 + g)ⁿ 112 125,44 140,49 157,35 176,23 197,38 221,07 247,6 277,31 310,58 1 965

По данным таблицы видно, что к концу 1-го года годовой доход будет равен 112 тыс. руб., а к концу 10-го года – 310,58 тыс. руб.

Чтобы ответить на вопрос беднее или богаче становится семья год от года надо знать, сколько потребительских корзин она сможет приобрести на свои деньги в каждый из рассматриваемых десяти лет. Если это количество будет уменьшаться, то можно сказать что уровень дохода семьи уменьшается, если наоборот, - увеличивается.

Исходя из сформулированных условий, найдем, сколько годовых потребительских корзин можно купить на один годовой доход в 1-й, 2-й, …, 10-й год. Расчет соотношения годового дохода и цены потребительской корзины приведен в Таб. 3.

Таб. 3 Расчет соотношения годового дохода и цены потребительской корзины

1 Расчетный год 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σ

4 ПК' 84 94,08 105,37 118,01 132,18 148,04 165,8 185,7 207,98 232,94 1 474

7 ГД' 112 125,44 140,49 157,35 176,23 197,38 221,07 247,6 277,31 310,58 1 965

8 ГД' / ПК' 1,3 1,26 1,23 1,2 1,17 1,14 1,11 1,08 1,05 1,02 11,56

По данным Таб. 3 видно, что если в начале 1-го года на годовой доход можно купить 1,3; то к концу 10-го года – только 1,02 потребительских корзин. Когда эта цифра станет меньше единицы, семья окажется за чертой бедности. Инфляция для семьи становится особенно ощутимой, когда ее доход растет медленнее, чем растут потребительские цены или, другими словами, уровень ее дохода меньше уровня инфляции.

Итак, количество потребительских корзин, приобретенных за 10 лет, равно 11,56 (итог по строке 8). Эта цифра исчислена как сумма частных от деления реального годового дохода на стоимость потребительской корзины в каждом конкретном году на 10-летнем отрезке времени (формула 2).

Если числитель и знаменатель каждого слагаемого в формуле (2) разделить соответственно на (1+q)ⁱ, где i = 1 … n, получим формулу (3)

Как было показано выше, выражение 1 / (1 + q)ⁱесть текущий курс золотого рубля по отношению к бумажному рублю. Поэтому выражение при n = 10 есть не что иное, как сумма дохода исчисленного в золотых рублях за период 10 лет.

ПК – стоимость потребительской корзины в начале первого периода, выраженная в золотых рублях.

Вспомним, что по условию в начале первого периода (в конце нулевого периода) один золотой рубль равен одному бумажному рублю.

Действительно: 1 / (1 + q)⁰= 1.

По сути, процедура исчисления дохода и расхода в золотых рублях есть исчисление дохода и расхода в рублях бумажных начала периода или, другими словами, приведение стоимости денежного потока к началу периода. Такая процедура названа гордым словом ДИСКОНТИРОВАНИЕ. При этом q называется ставкой дисконтирования, а выражение 1 / (1 + q)ⁱ– дисконтным множителем. В нашем случае ставка дисконтирования равна уровню инфляции 15%. Следует отметить, что такое совпадение является частным случаем и ставка дисконтирования не всегда, равна уровню инфляции.

Дисконтирование - определение стоимости в некоторый (текущий) момент времени при условии, что в будущем она будет иметь заданную величину. Или по-другому: дисконтирование - это метод оценки современной стоимости суммы, которая будет получена в будущем.

Процедура дисконтирования денежных потоков приведена в Таб. 4.

Таб. 4 Расчет соотношения уровня годового дохода и цены потребительской корзины

1 Расчетный год 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σ

2 Дисконтный множитель
1 / (1 + q) 0,87 0,76 0,66 0,57 0,5 0,43 0,38 0,33 0,28 0,25

3 Реальная стоимость ПК' 84 94,08 105,4 118 132,2 148 165,8 185,7 208 232,9 1 474

4 Дисконтированная стоимость потребительской корзины ПК = ПК' / (1 + q) ⁱ 75 75 75 75 75 75 75 75 75 75

7 Реальное значение годового дохода ГД' 112 125,4 140,5 157,3 176,2 197,4 221,1 247,6 277,3 310,6 1 965

8 Дисконтированное значение годового дохода
ГД' / (1 +q) ⁱ 97,39 94,85 92,38 89,97 87,62 85,33 83,11 80,94 78,83 76,77 867,2

Соотношение стоимости потребительской корзины и годового дохода вычисленное двумя способами:

9 ( ГД' / (1 + q) ⁱ) / ПК 1,3 1,26 1,23 1,2 1,17 1,14 1,11 1,08 1,05 1,02 11,56

10 ГД' / ПК' 1,3 1,26 1,23 1,2 1,17 1,14 1,11 1,08 1,05 1,02 11,56

В строках 9 и 10 содержится результат вычисления по периодам правой и левой части формулы (3). Процесс дисконтирования делает сопоставимыми между собой значения денежного потока на любом периоде времени. Именно дисконтирование делает возможным рассчитать по формуле (3) количество потребительских корзин приобретенных на доход десятилетнего периода:

Процесс дисконтирования денежных потоков – неотъемлемая процедура оценки инвестиционных проектов. В результате каждого инвестиционного проекта создается производственное, торговое, сельскохозяйственное, научное, финансовое и любое другое предприятие. С точки зрения экономиста любое предприятие это генератор денежного потока, который служит источником возврата потраченных средств и дополнительной премии инвестору, на средства которого предприятие было создано.

Сравнить эффективность проектов означает сравнить денежные потоки, которые они генерируют, причем сравнению подлежать дисконтированные денежные потоки, т.е. потоки, измеренные эталонными золотыми деньгами.

По какой же ставке дисконтировать денежные потоки разных проектов? Суть ставки дисконтирования в том, что она отражает изменение временной стоимость бумажных денег по отношению к эталону стоимости – золотым деньгам. Это своеобразный уровень инфляции бумажных денег.

Итак, инвестор приглашает финансового аналитика: "Продисконтируй-ка мне денежный поток по ставке 15%". Что хочет знать инвестор? А он хочет знать, сколько реальных золотых денег он будет иметь в некотором будущем и ничего больше. Дисконтирование лишь математическая операция, которая дает некоторое представление об этом. Но почему именно по ставке 15%?

Для того, что бы на это ответить рассмотрим как формируется денежный поток, генерируемый банковским депозитом.

Инвестированием, альтернативным проектному, можно считать вложение средств на банковский депозит. С точки зрения инвестора (вкладчика) банк, точно так же как промышленное предприятие, можно рассматривать как генератор денежного потока.

Ставка по депозиту наращивает деньги вкладчика, причем ставка должна быть не менее уровня инфляции, т.е. депозитный вклад должен спасти вкладчика от инфляции (потери покупательной способности бумажных денег). Какая инфляция имеется ввиду? Как раз инфляция бумажных денег по отношению к эталонным золотым деньгам.

Учитывая, что ставка дисконтирования как раз и есть показатель уровня инфляции бумажных денег, констатируем, что мы только, что установили логическую связь между ставкой дисконтирования и ставкой банковского депозита.

Проблема решена! Ставка дисконтирования можно приравнять к ставке по депозиту надежного банка и "дело в шляпе". Однако, ставка по депозиту другого, менее надежного банка будет несколько выше, чем у банка надежного. Дело в том, что менее надежный банк более высокой ставкой привлекает вкладчиков, а разница в ставках – это плата за риск, который принимают на себя жадные до денег вкладчики.

Производственное предприятие, в отличие от банка более рискованно, но и приносит больший доход, нежели депозитный вклад.

Так как же быть со ставкой дисконтирования? Очевидно, что она не может быть одинаковой для проектов с разными рисками и должна учитывать эти риски. Для того, что бы несколько денежных потоков были измерены одним эквивалентом – золотым рублем, каждый из потоков бумажных денег должен быть продисконтирован по своей ставке дисконта, исчисленной по формуле:

СТАВКА ДИСКОНТА = СТАВКА ПО ДЕПОЗИТУ НАДЕЖНОГО БАНКА + ПЛАТА ЗА РИСК ДАННОГО КОНКРЕТНОГО ПРОЕКТА

Внутренняя рентабельность

Компания, вложив в проект 600 000 тыс. рублей, построила и ввела в эксплуатацию промышленное предприятие. Пуск приурочен к началу календарного года, предприятие с первого дня стало работать по расчетной мощности.

Годовой доход от продажи товарной корзины или суммарный годовой денежный поток (расчетный суммарный годовой доход за минусом суммарных годовых расходов на начало деятельности предприятия) составил 120 000 тыс. руб. (20% от объема инвестиций). В дальнейшем эта стоимость товарной корзины под влиянием инфляции будет увеличиваться на 9% в год.

Учитывая, что основные средства предприятия полностью придут в негодность (амортизируются) через 30 лет и, далее для предприятия наступит другая инвестиционная история, примем период, на котором будем изучить поведение денежных потоков, равным 30-и годам (принято говорить, горизонт расчета денежных потоков будет равен 30-и годам).

Примем (пока на веру) ставку дисконтирования равной 15% и построим модель денежных потоков с учетом вышеперечисленных параметров проекта (Таб. 5).

Таб. 5 Расчет денежных потоков

Определения:

- Инфляционный множитель (отношение текущей и начальной стоимости товара), вычисляется по формуле (1 + q)ⁱ, где коэффициент инфляции (годовой процент роста цены на продукцию производства) q = 9%.

- Дисконтный множитель (текущий курс золотого рубля к рублю бумажному) вычисляется по формуле 1 / (1 + Q)ⁱ, где Q - коэффициент дисконтирования (прогноз средневзвешенного ежегодного изменения стоимости бумажного рубля по отношению к рублю золотому).

- Начальный доход от продажи товарной корзины - расчетный суммарный годовой доход за минусом суммарных годовых расходов на начало деятельности предприятия.

- Текущий доход от продажи товарной корзины - фактический суммарный годовой доход за минусом фактических суммарных годовых расходов на конец каждого календарного года.

- Приведенный доход от продажи товарной корзины - текущий доход от продажи товарной корзины, рассчитанный в золотых рублях.

Итак, приведенный доход (денежный поток или просто поток) компании за 30 лет деятельности составит 17 829 026 тыс. бумажных или, в том случае, если ставка дисконтирования будет равна 15%, - 1 743 166 тыс. золотых рублей.

Что представляет собой ставка дисконтирования? Можно сказать, что это коэффициент, при помощи которого можно определить реальное соотношение стоимости в настоящем и будущем, измерить цену бумажных денег в эталонных золотых рублях, стоимость которых со временем не меняется. Благодаря процедуре дисконтирования и инвестиции и стоимость товарной корзины в любой момент времени измерены единым стоимостным эталоном (условно, - золотым рублем).

Это дает возможность сравнивать значения настоящих и будущих стоимостных значений при помощи простых арифметических действий. Например, можно сказать, что отношение суммарного денежного потока (Cash floor) и инвестиций 1 743 166 / 600 000 = 2,91; а срок окупаемости инвестиций равен 1 / 2,91 = 10,3 года.

Понятно, что приведенный поток является функцией ставки дисконтирования. При увеличении ставки приведенный поток стремится к нулю. Особый интерес представляет значение ставки дисконтирования, при которой приведенный поток компании в рассматриваемом периоде будет равен инвестициям. Такое значение ставки дисконтирования называется ВНУТРЕННЕЙ РЕНТАБЕЛЬНОСТЬЮ ИЛИ ВНУТРЕННЕЙ НОРМОЙ ДОХОДНОСТИ ПРОЕКТА (англ. internal rate of return, общепринятое сокращение - IRR) и является одним из основных показателей оценки инвестиционных проектов. В нашем случае значение ставки дисконтирования Q, при котором суммарный приведенный поток равен сумме инвестиций, равен 30,71%.

Попытки дать логическую интерпретацию IRR, исходя из анализа расчетной формулы, ни к чему не приведут. Для того, что бы понять сущность этого показателя нам придется "зайти с черного хода".

Для начала вспомним, как действует модель банковской депозитной книжки. В Таб. 6 приведена расчетная таблица в формате Excel, которая поможет особо вдумчивому аналитику на практике проверить, как работает банковский депозитный счет.

Таб. 6 Модель депозитной книжки (Формулы в строке 8 приведены для значений в строке 10)

Предположим, что инвестор вложил деньги в размере 600 000 тыс. руб. на банковский депозитный счет, где ставка по депозиту установлена в размере 15% / год. Предположим так же, что доход по депозиту (сумма, которая будет выплачиваться инвестору банком) по сумме и по срокам такая же, как та, что генерируется описанным выше промышленным предприятием (Таб. 1, столбец 4). Расчеты показывают, что в этом случае депозитный счет иссякнет в 7-м году от начала таких выплат (Таб. 7).

Таб. 7 Расчет потоков при 15%-м доходе по депозиту

Очевидно, что для увеличения срока выплат на этих условиях банк должен увеличить процент депозитных выплат. Пропустив промежуточные рассуждения, приведем график срока обнуления депозитного счета в зависимости от процента по депозиту.

Рис. 1 График изменения срока обнуления депозитного счета в зависимости от процента по депозиту

Приведем расчет потоков для последнего значения ставки по депозиту – 30,71%, обратив внимание, что при такой ставке депозитный счет обнулится через 30 лет. Вспомним, что 30 лет это срок жизни нашего предприятия и горизонт расчета IRR.

Для наглядности сопоставим значения доходов от производственной деятельности (Таб.1) и доходов, обеспеченных депозитным вкладом (Таб. 4). Результат такого сопоставления содержит Таб. 8.

Таб. 8 Расчет денежных потоков от производственной деятельности и от вложения на банковский депозит

В правой части приведен расчет денежного потока от банковского депозита с таким минимально возможным депозитным процентом, который обеспечивает денежный поток, равный потоку от деятельности производственного предприятия. И эта минимальная ставка по депозиту численно равна внутренней рентабельности проекта (т.е. ставке дисконтирования, при которой приведенный поток от деятельности производственного предприятия в рассматриваемом периоде будет равен инвестициям).

Итак, внутренняя рентабельность проекта представляет собой процент по депозиту. Отсюда ряд важных выводов:

- Для того, чтобы обеспечить денежный поток от депозита, равный тому, который генерируется промышленным проектом, банк должен приравнять ставку по депозиту внутренней рентабельности проекта.

- Производственный проект можно приравнять к проекту банковского депозита со ставкой по депозиту, равной внутренней рентабельности этого проекта.

- Инвестиции в производственный проект настолько более привлекательны, чем инвестиции в банковский депозит, насколько внутренняя рентабельность этого проекта больше банковской ставки по депозиту.

Эти основные понятия дают ключ к пониманию остальных положений инвестиционного анализа, основанных на использовании показателя внутренней рентабельности.

Несколько слов о горизонте расчета IRR. Суммарный денежный поток можно рассчитать на любом временном отрезке, и, приравняв его к инвестициям, выполнить расчет IRR по известной формуле. Сделав это на отрезке 5, 10, 15, 25, 30 лет получим график (Рис. 2).

Рис. 2 График расчета IRR на разных отрезках жизненного цикла предприятия

Из графика видно, что по мере увеличения горизонта расчета, значение IRR стремится к некому предельному значению. Поэтому реальное значение IRR можно вычислить, приняв горизонт расчета достаточно большим (например, 30 лет), или рассчитать IRR исходя из терминальной стоимости предприятия (модель Гордона).

Вверх

ООО "Технопромэк" 603016 г. Н.Новгород, ул. Героя Смирнова 2; ОГРН 1065256041168
т./ф. +7 831 294 45 66; моб. +7 951 917 43 68; E-mail fregat51@ya.ru